Matematikk er et fag som mange elever, så vel som foreldre og lærere, har et anstrengt forhold til. Årsakene til dette kan være mange, men forskere som Olof Magne og Snorre Ostad har i de senere år pekt på mangler ved selve matematikkopplæringen som en årsak til vansker i matematikkfaget (Ostad 1999).
elevsiden.no 2003: Sven Oscar Lindbäck
Matematikk i læreplanen
Den tradisjonelle matematikkopplæringen har gjerne vært formell, abstrakt og lite i kontakt med elevenes egne erfaringer og behov. Læreplanen (L97) forsøker å bedre dette ved å vektlegge det forholdet at matematikkfaget har en sosial eller kulturell forankring og L97 legger derfor opp til en brukerorientert profil. En søker å knytte en nær forbindelse mellom matematikken på skolen og matematikken i verden utenfor skolen. L97 tar utgangspunkt i ulike matematiske områder i opplæringen:
- Tallforståelse
- Behandling av tall
- Bruk av regneartene
- Geometri
L97 formidler at det er viktig at elevene opplever læring i matematikk som en prosess. Selv om matematikk er et fag som til en viss grad har en gitt struktur der kunnskapene bygger på hverandre, åpner faget allikevel for fleksible tilnærmingsmåter og ulik fordypning. Matematikk har en sentral rolle innenfor er rekke fagområder på skolen. Dette gjør at faget i særlig grad er godt egnet til tverrfaglige aktiviteter.
Opplæringen må ta hensyn til de enkelte elevers forutsetninger slik at de får oppgaver som de opplever som meningsfulle, og som de har muligheter for å mestre. Om elevene i utgangspunktet arbeider samtidig med de samme hovedtemaene, er det rom for individuelle tilpasninger med hensyn til fordypning og breddeorientering. L97 legger opp til fokus på tre hovedemner i matematikkundervisningen:
- Godt kjennskap til tallsystemet vårt, kunnskaper om brøk, desimalbrøk og prosent både som begreper og til regning i praktiske sammenhenger
- Innsikt i de fire regneartene og i bruken av dem, ferdighet i hoderegning og i overslagregning
- Å kunne bruke mål for tid, lengde, areal, volum, vekt og penger
Elever som strever med multiplikasjonstabellen, må likevel få arbeide videre med begreper og oppgaver som bygger på ideer om multiplikasjon. Mer vesentlig enn å pugge tabellen, er det å forstå selve begrepet multiplikasjon og kunne bruke det. Opplæringen i matematikk i grunnskolen har som mål (L97):
- at elevene utvikler et positivt forhold til matematikk, opplever faget som meningsfylt og bygger opp selvfølelse og tillit til egne muligheter i faget.
- at matematikk blir et redskap elevene kan ha nytte av på skolen, i fritiden og i arbeids- og samfunnsliv.
- at elevene stimuleres til å bruke sin fantasi, sine ressurser og sine kunnskaper til å finne løsningsmetoder og løsningsalternativer gjennom undersøkende og problemløsende aktivitet og bevisste valg av verktøy og redskaper.
- at elevene opparbeider ferdigheter i å kunne lese, formulere og formidle emner og ideer hvor det er naturlig å bruke matematikkens språk og symboler.
- at elevene utvikler innsikt i grunnleggende begreper og metoder i matematikk, og utvikler sin evne til å se sammenhenger og strukturer og kunne forstå og bruke logiske resonnementer og trekke slutninger.
- at elevene utvikler innsikt i matematikkens historie og fagets rolle i kultur og vitenskap.
Definisjoner
Begrepet matematikkvansker refererer til at eleven har stagnert eller gått tilbake i forhold til en normal faglig utvikling i matematikk. At en elev har matematikkvansker, betyr derfor at hun mangler den kontinuerlige faglige utviklingen som må til for å mestre matematikkfaget (Ostad 1995).
I ulike faglige sammenhenger kan vi se at matematikkvansker og dyskalkuli blir benyttet som synonyme begreper. Vi kan likevel skille mellom matematikkvansker og dyskalkuli. Dyskalkuli brukes når er snakk om en spesifikk vanske, dvs. at eleven har normalt evnenivå, normal fungering ellers og har hatt en normal undervisningssituasjon, men at hun fortsatt ikke klarer å følge klassens plan i matematikk. Matematikkvansker er den betegnelsen vi benytter i de tilfellene hvor det ikke er en klar forskjell mellom generelt evnenivå og matematikkunnskaper (Ostad 1995).
Hva kjennetegner elever med matematikkvansker?
Elever med matematikkvansker og/eller dyskalkuli har ofte:
- Dårlig mengdeoppfatning og tallforståelse
- Svak romoppfatning
- Vansker med å lære seg gangetabellen
- Kort oppmerksomhetsspenn
- Svakt korttidsminne
- Svak språkoppfatning og lite hensiktsmessige problemløsingsstrategier
- Lese- og skrivevansker
- Generelle lærevansker
Hvem får matematikkvansker?
Det er dokumentert at elever som har vansker med å lære seg matematikk ikke er en homogen gruppe. Vi kan i hovedsak dele elevene inn i tre kategorier (Tvedt og Johnsen 2002):
- Elever som har matematikkvansker på grunn av svake evner eller generelle lærevansker
- Elever som har språkrelaterte og spesifikke lærevansker (dysleksi)
- Elever med nonverbale lærevansker
Elever med generelle lærevansker
Elever som har svake evner/ generelle lærevansker viser ofte kvalitativ lik læring av matematiske kunnskaper og ferdigheter sammenliknet med normalelevene. Forskjellen er først og fremst av kvantitativ art. Elevene har behov for mye repetisjon og overlæring før kunnskapene sitter. Progresjonen hos generelt svake elever er ofte langsom og de kan ofte ikke regne med å nå et nivå som ligger noe særlig over gjennomsnittlig nivå for 2.-5. klasse ved utgangen av ungdomsskolen.
Språkrelaterte og spesifikke lærevansker
Det generelle evnenivået (IQ) hos disse elevene kan gjerne være langt over gjennomsnittet, men vi opplever allikevel at de ofte får så store problemer med matematikk at det må skrives individuell opplæringsplan. Dette er elever som ofte har automatiseringsvansker og som derfor må benytte tungvinte strategier, som telling, der andre elever har lært ting utenat.
Nonverbale lærevansker
Dette er elever som ofte har visuo-spatiale og visuo-motoriske problemer, som blant annet fører til at det blir vanskelig å sette opp matematikkstykker. Elevene har ofte gode automatiseringsferdigheter og god hukommelse for tallfakta og algoritmer. Elever med nonverbale lærevansker mangler antakelig en dypere forståelse for matematikk, og får følgelig problemer når matematikken blir abstrakt og når de må benytte matematisk kunnskap i resonnering og problemløsing.
Kvaliteten på matematikkunnskapene
Ostad (1999) er ikke så opptatt av å skille mellom ulike typer matematikkvansker, men fokuserer mer på prosessene som ligger til grunn for disse vanskene. I god sosialkonstruktivistisk ånd har Ostad vært opptatt av matematikklæring som en ytre aktivitet som internaliseres gjennom lærerens bruk av formidling og modellering av matematiske kunnskaper, ferdigheter og læringsstrategier. Ostad (1997) hevder således at årsaken til elevenes matematikkvansker kan tilskrives kvaliteten på deres matematikkunnskaper. Han hevder at disse elevene lærer matematikk på en annen måte enn de flinke elevene, slik at de får et dårligere resultat av læringsprosessen. Ostad påpeker videre at elevenes matematikkunnskaper ofte har preg av mekanisk innlæring av ulike prosedyrer som ikke lar seg overføre til andre tilsvarende matematiske problemstillinger. Elevene forstår derfor ofte ikke hva de har gjort, selv om de får riktig svar på oppgavene.
Strategier og kunnskaper
Det er vanlig å skille mellom generelle strategier og oppgavespesifikke strategier innenfor matematikkforskningen. Innenfor oppgavespesifikke strategier kan vi videre skille mellom backupstrategier og gjenhentingsstrategier. Gjenhentingsstrategiene er de mest effektive fordi den matematiske enheten hentes fram fra langtidshukommelsen som en meningsfylt helhet. Backupstrategier innebærer mer møysommelig bearbeiding som telling ved addisjon og addisjon ved multiplikasjon. Vi vil her legge vekt på de oppgavespesifikke strategiene. Ved siden av at elever med matematikkvansker ofte har generelt svakere problemløsingsstrategier enn sine medelever, mangler de også grunnleggende matematiske begreper og områdespesifikke strategier og kunnskaper som:
- At de ikke kjenner til vanlige bruksområder for tallene
- De har ofte lite kjennskap til tallenes plassverdi
- Har svak forståelse for størrelse, vekt og mål i dagligdagse situasjoner
- De mangler gode strategier for addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon
- At de benytter mange backupstrategier og relativt få gjenhentingsstrategier
For å kunne løse, for eksempel, ulike stykker innenfor addisjon av hele tall, må elevene lære seg en rekke kunnskaper og strategier: Kunnskaper om tall og plassverdi i tallområdene 0-9, 0-19, 0-99 og 0-999, forståelse av hva tegnene + og = betyr, funksjonelle strategier om oppsett av addisjonsstykker uten tierovergang, med en tierovergang og med to tieroverganger, samt strategier for vurdering av om prosedyrene og svarene er korrekt utført. Dette er kompliserte og abstrakte kunnskaper som tar lang tid å lære for elever med svake forutsetninger. Foreldre og lærere som har elever med matematikkvansker bør derfor forsøke å knytte formell matematikkunnskap til oppgaver som er meningsfylte. Oppgavene bør dessuten ha en sterk «jeg-forankring».
Tiltak for elever med matematikkvansker
Elever med lærevansker i matematikk har ofte problemer med å bryte ned læringsaktivitetene i hensiktsmessige steg eller sekvenser. Foreldre og lærere må forsøke å sette seg inn i de hindringer elevene møter i læringsarbeidet. Elevene har behov for at læreren forklarer, modellerer, støtter, veileder og evaluerer aktivitetene i matematikk på en mer detaljert måte enn det som er vanlig ovenfor elever uten slike lærevansker.
Elevene skal ha opplæring i områdene tall og tallbehandling, matematikk i dagliglivet, databehandling og geometri. Læreren bør ta hensyn til seks trinn som er nødvendige for å kunne realisere fagplanene i matematikk:
- Tilegnelse av nye ferdigheter
- Etablering av nye kunnskaper og ferdigheter
- Utvikling av ferdigheter
- Automatisering av kunnskaper og ferdigheter
- Repetisjon av sentrale kunnskaper og ferdigheter
- Overføring/generalisering av kunnskaper og ferdigheter
Tilegnelse av nye ferdigheter og utvikling av ferdigheter i matematikk
- Elevene bør først oppmuntres til å aktivere relevante bakgrunnskunnskaper innenfor temaet som skal læres. Dette kan gjøres på flere måter:
- Ved at læreren og elevene sammen diskuterer hva de allerede kan om dette temaet.
- Ved at elevene spør seg selv om hva de kan om temaet (Her kan det være nødvendig å benytte ulike sjekklister som; vet jeg hva + betyr?, hva kan jeg om desimaltall?).
- Det er svært viktig at læreren forklarer betydningen av ulike matematiske operasjoner for elevene dersom de er usikre.
- Ved at elevene har rutiner for idémyldring i små grupper.
- Læreren forklarer og modellerer (viser på tavla og tenker høyt) hvordan elevenes bakgrunnskunnskaper kan anvendes til lettere å forstå det temaet som skal læres.
Etter at elevene har aktivert den bakgrunnsinformasjonen som de sitter inne med, bør de sammen med læreren analysere hva som er problemet. Dette kan gjøres ved at:
- Elevene først leser opp problemet
- Elevene sitter sammen med læreren og reformulerer problemet
- Elevene formulerer problemet med egne ord og knytter det til konkreter
Elevene og læreren formulerer til slutt sammen essensen i problemstillingen. Videre kan elevene, sammen med læreren eller i liten gruppe, formulere en løsningsstrategi.
Etter at problemet er analysert og en løsningsstrategi valgt, bør læreren oppmuntre elevene til selv å prøve ut hvordan problemet kan løses. I denne fasen bør elevene lære seg, på bakgrunn av oppgaveanalyse og strategivalg, å gjøre overslag. Elevene bør videre oppmuntres til å knytte problemløsningen til problemanalysen. Læreren gir ulike former for gradert støtte til elevenes problemløsing: Læreren bygger da opp et pedagogisk stillas rundt elevenes løsningsforsøk. Læreren kan i denne situasjonen evaluere elevenes læringsstrategier og samtidig forklare og modellere hvordan elevene kan løse problemet på en mer hensiktsmessig måte. Læreren kan vise korrekt bruk av algoritme, funksjon og prosess. Det er viktig at læreren viser at det å gjøre feil er en naturlig del av læringsarbeidet. Lærerens modellering av feil som det er vanlig å gjøre, kan sikre utvikling av matematisk tenkning.
I denne innlæringsfasen kan det også være aktuelt med ulike visuelle støttetiltak (skjema, diagrammer og lignende) og ulike konkreter. Til slutt regner elevene ut matematikkstykket og kontrollerer om svaret er riktig. Læreren evaluerer prosessen gjennom å gi informativ feedback. Med informativ feedback mener vi tilbakemeldinger som er oppgaveorienterte, som sier noe om hva som er bra med det elevene gjør eller har gjort, og hva som skal til for å gjøre det bedre neste gang. Informasjonen fra læreren bruker elevene til å styrke matematikkompetansen.
Automatisering og overlæring av ferdigheter
Når elevene og læreren vurderer at kunnskapene er sikre, kan opplæringen gå over i en automatiseringsfase. Vanlig drill av matematikkoppgaver er nyttig for å overlære kunnskaper og ferdigheter. For å sikre at elevene opprettholder interessen i denne fasen, bør læreren søke etter varierte oppgaver og benytte ulike læremidler; som:
- Regne ut ferdig oppstilte matematikkstykker
- Løse oppgaver i matematikkboka
- Benytte ulike regneprogram, LØKO-materiell og/eller flashcards
- Spille matematikkspill
- Spille Yatzy, Monopol og andre spill som krever regneferdigheter
Opprettholdelse av ferdigheter i matematikk
Lærere sier ofte at: «Elevene lærer seg relativt lett nye ferdigheter, men de glemmer dem så fort vi begynner på et nytt tema». Gjennom jevnlig repetisjon av det en allerede har lært, kan en sikre seg at kunnskapene «fester seg» og vedlikeholdes. Årsaken til at elevene ofte glemmer det de har lært, er at kunnskaper og ferdigheter ikke er lært godt nok. Ofte skyldes dette at målene for og innholdet i matematikkopplæringen ikke er i overensstemmelse med elevenes læreforutsetninger. Ved hjelp av standardiserte tester, gode kartleggingsrutiner (med standardisert kartleggingsmateriell) og bruk av diagnostisk undervisning som utgangspunkt for en kartlegging av elevenes nærmeste utviklingssone, vil en antakelig unngå å sette urealistiske mål i opplæringen. En annen årsak til at elevene glemmer nylig innlærte ferdigheter, er at elevene har brukt for liten tid på innlærings- og automatiseringsfasen.
Framfor alt kan manglende opprettholdelse av matematikkferdigheter skyldes at de svake elevene svært ofte ikke er motiverte for faget. Manglende motivasjon og interesse fører til at elevene ikke involverer seg dypt i læringsarbeidet, noe som fører til at kunnskapen ikke sitter over tid. Selv om en elever med lærevansker i matematikk følger fagplanen tre år under levealder, kan de ofte ikke følge progresjonen på dette alderstrinnet. Det er derfor viktig at en ikke øker vanskegraden, eller haster av sted fra tema til tema før kunnskapen har fått satt seg.
Overføring og generalisering av matematikkferdigheter
I innlæringsfasen bør lærerne forsøke å knytte matematikk til situasjoner og områder som føles viktige og meningsfylte for elevene. Dette stimulerer både til økt motivasjon for matematikk og til bedre lagring (hukommelse) av kunnskaper og ferdigheter. Jo flere «naturlige» knagger læreren kan henge matematikkferdighetene på, jo mer fullstendige matematiske begreper vil elevene antakelig få.
Elevenes utviklingstakt påvirkes av i hvilken grad de får hjelp til å sette ord på, og rydde opp i, matematiske begreper. De har ofte, blant annet, behov for å arbeide med den språklige forståelsen av hva de grunnleggende fire regneartene (addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon) innebærer. Det er viktig at elevene verbaliserer sine læringsforsøk. Dette både for å finne ut hva slags matematiske begreper elevene har, og for å få et inntrykk av hvor presise begrepene er.
Litteratur:
Ostad, S.A. (1995). Matematikkvansker. Ulike kategoriseringsmåter. Norsk Pedagogisk Tidskrift, 1, 26-3.
Ostad, S.A. (1999). Elever med matematikkvansker. Studier av kunnskapsutviklingen i et strategisk perspektiv. Oslo: UNIPUB forlag (ISBN 82-7477-012-9)
Tvedt, B. Og Johnsen, F. (2002). Matematikkvansker. I Gjærum, B. Og Ellertsen, B. Hjerne og atferd. Utviklingsforstyrrelser hos barn og ungdom i et nevrobiologisk perspektiv…et skritt videre. Oslo: Gyldendal Akademisk Forlag