Hva skal elevene lære i matematikk?

Den tradisjonelle opplæringen i matematikk har gjerne vært formell, abstrakt og lite i kontakt med elevens egne erfaringer og behov. Læreplanen (L97) forsøker å bedre dette ved å vektlegge det forholdet at matematikkfaget har en sosial eller kulturell forankring og L97 legger derfor opp til en brukerorientert profil. Læreplanen legger også vekt på å knytte en nær forbindelse mellom matematikken på skolen og matematikken i verden utenfor skolen. Vi skal her se litt nærmere på hva læreplanen sier om matematikk, matematikklæring og matematikkfagets status i skolen.

elevsiden.no 2003: Sven Oscar Lindbäck

L97 tar utgangspunkt i utvikling av fire ulike matematiske områder i opplæringen:

Tallforståelse.
Behandling av tall.
Bruk av regneartene.
Geometri

Vi vil i denne artikkelen referer til hva læreplanen (L97) sier om matematikk som fagområde, matematikkens plass i skolen, hva opplæringen i matematikk skal inneholde og hvilke arbeidsmåter opplæringen i matematikk skal drives ut fra.

Læreplanen mener at det er viktig at elevene opplever læring i matematikk som en prosess. Selv om matematikk er et fag som til en viss grad har en gitt struktur der kunnskapene bygger på hverandre, åpner faget allikevel for fleksible tilnærmingsmåter og ulik fordypning.

Matematikk har en sentral rolle innenfor er rekke fagområder på skolen. Dette gjør at faget i særlig grad er godt egnet tverrfaglige aktiviteter. Mange av lærebøkene i matematikk som er skrevet etter 1997 legger opp til tverrfaglighet.

Godt kjennskap til tallsystemet vårt, kunnskaper om brøk, desimalbrøk og prosent både som begreper og til regning i praktiske sammenhenger
Innsikt i de fire regneartene og i bruken av dem, ferdighet i hoderegning og i overslagsregning
Å kunne bruke mål for tid, lengde, areal, volum, vekt og penger

Enkelte elever har svært store vansker med å lære seg enkelte sentrale regneferdigheter. Blant annet har mange barn med dysleksi store vanske med å lære seg multiplikasjonstabellen. Elever som strever med multiplikasjonstabellen, må i følge læreplanen likevel få arbeide videre med begreper og oppgaver som bygger på selve forståelsen av prinsippene bak multiplikasjon. I stedet for å pugge gangetabellen, bør elevene stimuleres til å forstå selve begrepet multiplikasjon og kunne anvende ferdigheten i praksis (gjerne med ulike hjelpemidler som skrevet gangetabell, kalkulator og lignende tilgjengelig) .

Matematikkens plass i skolen

Læreplanen understreker matematikkens historiske tradisjoner og kulturelle betydning i samfunnet vårt. Elevene skal få i opplæringen innsikt i betydningen av matematikk blant annet for ingeniørkunst, arkitektur og økonomi. Dessuten hvordan matematikken som fag har dannet grunnlag for mange tekniske nyvinninger opp gjennom tidene og for utformingen av samfunnet og vårt daglige miljø.

Matematikk har mange uttrykksformer og er under stadig utvikling

Matematikk er vitenskap, kunst, håndverk, språk og verktøy. Resonnement, fantasi og opplevelser er viktige elementer i faget. Skolefaget matematikk skal søke å gjenspeile denne bredden og denne utviklingen. Læreplanen vektlegger derfor i høyeste grad tverrfaglighet som en sentral arbeidsmåte i matematikk.

Arbeidet med matematikk i grunnskolen skal skape interesse og innsikt, slik at alle elever får nytte og glede av det, både i arbeidet med dette faget, i andre fag og i livet ellers. Gjennom valg av praktiske tilknytninger, eksempler og arbeidsmåter skal elevene, både jenter og gutter, og elever med ulik kulturell og sosial bakgrunn gis mulighet til å oppleve tilhørighet og utvikle positive holdninger til faget. De skal få innsikt i og tro på sine egne muligheter. Dette krever at læreren har den faglige og pedagogiske kompetansen som skal til for å kartlegge den enkelte elevs læreforutsetninger og til å tilpasse innhold og arbeidsmåter til disse forutsetningene.

Læreplanen legger vekt på å knytte en nær forbindelse mellom matematikken på skolen og matematikken i verden utenfor skolen. Fra dagliglivets erfaringer, lek og eksperimentering bygges det opp og videreutvikles begreper og fagspråk skriver de i læreplanen. Teorien er at matematikken fremtrer både som mer relevant og forståelig for eleven dersom den knyttes opp mot elevenes livsverden. Dette stiller høye krav til læreren som skal legge til rette for dette arbeidet. En lærer som styrer sin undervisning fra opplegg læreboken, vil antakelig i liten grad være i stand til forene teori og virkelighet.

Samtidig som matematikk er et praktisk redskap, skal faget også åpne for at elevene får bruke sine kreative evner og oppleve fagets estetiske sider. Matematikk utfordrer både oppfinnsomhet, kritisk sans og analytisk evne. Gjennom eksperimentering, opplevelse, undring og refleksjon vil faget kunne bidra til å utvikle elevenes nysgjerrighet og trang til utforskning.

Det er viktig at elevene opplever læring i matematikk som en prosess

Den teknologiske utviklingen skaper nye muligheter, samtidig som den stiller oss overfor utfordringer både i og utenfor skolen. Innsikt og ferdigheter i matematikk er viktig for å møte og nytte denne teknologien. Dette er også viktig for at elevene skal kunne bruke sine kunnskaper til kommunikasjon i det moderne samfunnet.

Kunnskaper og ferdigheter i matematikk er et viktig grunnlag for aktiv deltakelse i arbeid og fritid og for å kunne forstå og øve innflytelse på prosesser i samfunnet. Matematikk kan være et hjelpemiddel til å mestre utfordringer for den enkelte.

Positive holdninger til matematikk er en viktig forutsetning for læring i faget. Fortrolighet med matematikkens språk og symboler, og en god begrepsforståelse, er viktig for videre læring i matematikk. Positive holdninger til matematikk kan blant annet utvikles gjennom at læreren tilpasser opplæringen til elevenes evner og forutsetninger, at hun etablerer et klasseromsklima preget av trygghet og at hun bygger opplæringen på elevenes egenaktivitet.

Arbeidsmåter i matematikkfaget

Læreplanen legger opp til allsidige, fleksible og tilpassede arbeidsmåter i matematikkfaget. Det blir derfor ikke fokusert på en men på mange arbeidsmåter i læreplanen. Alle elever har, ved skolestart, utviklet noen matematiske begreper som bør være grunnlaget for videre matematikklæring. Noen er allerede gode til å telle, summere og trekke i fra, mens andre har mer begrenset forståelse for tallarbeid. Noen elever er sterke språklig mens andre har god ikke-språklig kompetanse. Når læreren skal velge arbeidsmåter i matematikkfaget, bør hun ta utgangspunkt i individuelle forskjeller og interesser. Elever med svake forutsetninger må bruke tid på å lære grunnleggende begreper som kan støtte dem i den videre matematikkopplæringen. Dette kan være begreper som de i noen grad har vanskelig for å uttrykke med ord. Det kan derfor være nyttig å visualisere og konkretisere opplæringen i begynneropplæringen. Opplæringens oppgave er, i følge læreplanen, å ta vare på, utvikle og systematisere dette grunnlaget. Matematikk har en sentral rolle på en rekke kunnskapsområder, noe som gjenspeiles i læreplanen ved at tverrfaglige aktiviteter blir et viktig element i opplæringen.

Matematikk er et fag som til en viss grad har en gitt struktur der kunnskapene bygger på hverandre. Faget åpner likevel for ulike tilnærmingsmåter og forskjellige grader av fordypning. Emnevalg og innfallsvinkel avgjør retning for den matematiske prosessen. Elever med svake evner, for eksempel, vil ofte ha behov for en konkret innfallsvinkel noe som ofte fører til at en må forenkle emnene og redusere omfanget av det eleven skal lære i faget. Læreplanen sammenligner derfor det å lære matematikk med det å klatre i et tre: treklatring går ikke alltid langs en fast opptrukket linje, men er en prosess hvor ens fysiske kompetanse og klatreerfaring både styrer hvilket tre vi vil klatre i og hvor høyt vi kommer i treet. Enkelte elever bør holde seg lenge til de nederste grenene før de tar spranget videre opp i treet. I matematikken kommer elevene på samme måte til forgreininger og skillepunkter hvor det åpnes for nye sammenhenger og veivalg. Dette gir rike muligheter til å gå i dybden og bredden innenfor de fleste emner i faget.

Opplæringen må ta hensyn til de enkelte elevers forutsetninger slik at de får oppgaver som de opplever som meningsfulle, og som de har muligheter for å mestre. Om elevene i utgangspunktet arbeider samtidig med de samme hovedtemaene, er det rom for individuelle tilpasninger med hensyn til fordypning og breddeorientering. God tilpasset opplæring er derfor en forutsetning for en god matematikkopplæring. En vanlig måte å drive tilpasset opplæring på i matematikk, er å gi elevene en nivådifferensiert arbeidsplan. Dette er både vel og bra, men holder ikke forhold til læreplanens definisjon av tilpasset opplæring og eleven som et aktivt individ som (re)konstruerer matematikken. Læreren må legge til rette for interessante aktiviteter, fleksible arbeidsmåter og målsettinger ut fra elevenes individuelle referanseramme, dersom matematikkopplæringen skal kunne sis å være tilpasset.

Læreplanen legger vekt på at alle elever må få muligheter til å være med på interessante aktiviteter. Det er viktig at hver enkelt elev får et godt fundament for å kunne utvikle seg videre.

Som fundamentale kunnskaper og ferdigheter under hovedområdet tall nevner læreplanen derfor:

Godt kjennskap til tallsystemet vårt, kunnskaper om brøk, desimalbrøk og prosent både som begreper og til regning i praktiske sammenhenger
Innsikt i de fire regneartene og i bruken av dem, ferdighet i hoderegning og i overslagsregning
Å kunne bruke mål for tid, lengde, areal, volum, vekt og penger

Matematikkfaget har mange aspekter, og læring kan skje på ulike måter. Elevenes erfaringer, deres tidligere kunnskaper og de oppgaver de stilles overfor, blir vesentlige elementer i læringsprosessen.

Elevene skal i følge læreplanen selv konstruere sine matematiske begreper. Læreplanen ser med andre ord på læringsaktivitetene i matematikkfaget i et konstruktivistisk perspektiv. Læreplanen legger vekt på at denne begrepsdannelsen skal være mulig for alle elever. Læring gjennom samarbeid bør derfor ære en sentral arbeidsmåte i matematikkopplæringen; det vil si eleven som aktiv og utforskende og læreren som veileder og støtte, kan være med på å invitere til metakognitive – bevisstgjørende – samtaler om hvordan de egentlig har lært seg det de faktisk kan. Utgangspunktet bør være meningsfylte situasjoner, og oppgaver og problemer bør være passe utfordrende og realistiske slik at læringsoppgavene blir selvmotiverende. Det å gjøre feil er en viktig del av alt læringsarbeide, ikke minst i matematikk. Det er viktig at læreren formidler dette tidlig til elevene, slik at de ikke gir opp dersom de ikke forstår en problemstilling i matematikken. Elevene har ofte uferdige begreper, gjør av og til feil og viser at de ikke har en relevant forståelse for matematikk. Det vil si at læringsarbeidet ofte bygger på en ufullstendig begrepsoppfattelse og preges av det Ostad kaller misoppfatninger. Diskusjon av matematiske problemstillinger med læreren og med andre elever, kan være med på å avklare misoppfattelser og styrke elevenes begreper. Elevene må være trygge dersom de skal våge å dele sine egne tanker, oppdagelser og nye kunnskaper med lærer og medelever! I en tillitsfull og byggende atmosfære skal dette brukes som utgangspunkt for videre læring og dypere innsikt.

Læreplanen vektlegger at det er viktig at elevene blir kjent med ulike teknologiske hjelpemidler, og at de får en opplevelse av teknologien er redskaper som kan hjelpe eleven til å oppnå en dypere forståelse av matematikk. Lommeregner og datamaskin blir i læreplanen ikke bare sett på som redskaper som kan forenkle arbeidet med rutineoperasjoner (ganging og deling for eksempel), men også hjelpemidler til presentasjon av oppgaver og prosjekter. I yrkessammenheng Tekstbehandling er et standardverktøy som elevene tar i bruk i svært mange sammenhenger. I matematikk er regneark et slikt nyttig verktøy, men også annen hensiktsmessig programvare bør tas i bruk. Det å kunne presentere utregninger og prosjekter lekre visuelle virkemidler som tabeller og grafer, vil for enkelte elever virke motiverende for et videre arbeid med faget.

I arbeid med oppgaver og problemer der eksperimentering og undersøkelser vektlegges, gir bruk av lommeregner og informasjonsteknologi muligheter for nye innfallsvinkler skriver de i læreplanen. I dette arbeidet er det særlig viktig at tekniske hjelpemidler ikke blir et mål i seg selv, men blir brukt til å utvide forståelsen av tall og regneoperasjoner, å kunne tolke tabeller, diagrammer og geometriske figurer og å ha evne til å gjøre overslag og vurdere resultater. Læreren må derfor aktivt vise og støtte eleven i bruk av tekniske hjelpemidler.

På småskoletrinnet spiller elevenes egne erfaringer og opplevelser en spesielt viktig rolle. Leken står sentralt på dette trinnet, og gjennom lek og spill kan elevene selv være med på å lage regler, lære seg å følge dem og se konsekvensene av sine valg. Opplæringen legger hovedvekt på tallforståelse (tallene til 1000), addisjon, subtraksjon, divisjon og multiplikasjon med algoritme (framgangsmåte/oppsett). I tillegg retter innholdet i læreplanen seg mot måling og volum. Litt forenklet kan vi si at elevene skal lære seg å telle, regne og måle på småskoletrinnet. Det finnes en rekke spill og aktiviteter som innebærer telling, regning og måling. Småskolelærerens oppgave er å finne spill og aktiviteter som er tilpasset elevenes interesser og forutsetninger. En slik innfallsvinkel gir store muligheter for tverrfaglighet og er som skapt for prosjektarbeid som arbeidsmåte. På småskoletrinnet bør matematikken derfor integreres i andre fag og emner, og liten grad arbeides med isolert slik det ofte blir gjort i den tradisjonelle fagdelingen i skolen.

På mellomtrinnet skal også arbeidet med faget i høy grad ha en praktisk forankring. Lek og spill, natur og nærmiljø gir praktiske muligheter til å arbeide med matematikk. Samtidig skal elevene etter hvert møte de mer abstrakte sidene ved faget. Elevene skal arbeide med måleenheter for penger, vekt, volum, lengde og tid. Elevene får muligheten til å lære desimaltall, omkrets, areal, volum og vekt. Elevene begynner med geometri, fortegnstall (positive og negative tall), algebra (bokstav som symbol for tall), funksjoner og faktorisering. Det er viktig at læreren sørger for at elevene får tak i hva de ulike matematiske begrepene egentlig betyr, slik at elevene etter hvert etablerer solide kognitive skjema for matematikk. For å sikre god tilpasset opplæring og økt motivasjon for faget, bør opplæringen legge vekt på varierte utfordringer, slik at faget kan bidra til en god utvikling for hver enkelt elev. Det kan være gunstig for noen elever å holde på med et tema, eller problemstilling, lengre enn det som er vanlig å gjøre i klassen. Læreren må sørge for at eleven har lært temaet godt før hun retter elevens oppmerksomhet mot nye utfordringer.

På ungdomstrinnet legges det mer vekt på de formelle og abstrakte sidene ved faget og på bruk av matematikk i samfunnet. Praktiske situasjoner og elevenes egne erfaringer står fortsatt sentralt i opplæringen. Elevene må i tillegg få utfordringer til å gjennomføre sammensatte resonnementer og kombinere kunnskaper fra ulike deler av matematikken. I 8.klasse står regning med sammensatte tall, prosent og promille sentralt. I tillegg skal de regne med målestokk (kart) og parallelitet og vinkelmål. Elevene skal lære om naturlige og irrasjonelle tall i 9.klasse. De skal deretter forsøke seg på å regne med fortegnstall. I 9.klasse starter de også med likninger med èn ukjent og fortsetter med to ukjente i 10.klasse. I 9. klasse innføres potenser, kvadrattall, kvadratrot og proporsjoner (som fortsetter med omvent proporsjonalitet i 10.klasse). Gjennom å integrere dette arbeidet, kan elevene på ungdomsskolen utvikle en økt forståelse i faget og et videre perspektiv på bruk av matematikk.

I arbeidet med matematikk er elevenes egenaktivitet av største betydning. På alle nivåer skal opplæringen i matematikk gi muligheter til sier læreplanen:

å arbeide praktisk og få konkrete erfaringer
å undersøke og utforske sammenhenger, finne mønstre og løse problemer
å fortelle og samtale om matematikk, å skrive om arbeidet og formulere resultater og
løsninger
å øve på ferdigheter, kunnskaper og prosedyrer
å resonnere, begrunne og trekke slutninger
å samarbeide om å løse oppgaver og problemer

Litteratur:

KUF (1996). Læreplanverket for den 10-årige grunnskolen. Nasjonalt Læremiddelsenter 1996.

Ostad, S.A. (1999). Elever med matematikkvansker. Studier av kunnskapsutviklingen i et strategisk perspektiv. Oslo: UNIPUB forlag (ISBN 82-7477-012-9)